AI 也有蝴蝶效应,人工智能用到的数学理论?最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌

AI 的运作与演进一直和数学息息相关,在《从人到人工智能,破解 AI 革命的 68 个核心概念:实战专家全图解 × 人脑不被计算机淘汰的关键思考》中,作者告诉我们高科技的 AI 到底是使用哪种数学?

AI 也有蝴蝶效应,人工智能用到的数学理论?最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌


气象学家罗伦兹(Edward Lorenz)在 1960 年代发现蝴蝶效应。上为罗伦兹吸子图形。(By User:Wikimol, User:Dschwen GFDL, via Wikimedia Commons)

 
AI 的运作与演进一直和数学息息相关,在《从人到人工智能,破解 AI 革命的 68 个核心概念:实战专家全图解 × 人脑不被计算机淘汰的关键思考》中,作者告诉我们高科技的 AI 到底是使用哪种数学?本文选自第 13 章〈人工智能使用的数学〉,一起来弄懂“最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌”是什么。
 
 
文/三宅阳一郎、森川幸人
 

最陡下降法(steepest descent method)
 
最陡下降法是利用类神经网络的误差倒传递,运用于学习的收敛算法。要用有限步骤解给定函数的近似解,就会用这种方法。
 
用最简单的单一变量的函数来说明,从函数上任意一点开始,从那里拉出切线。该切线与 X 轴的交点的 X 坐标,视为函数上的一点。接着再从这里,和前面一样,“拉出切线”,反复进行这样的步骤,就会越来越接近该函数的解。



AI 也有蝴蝶效应,人工智能用到的数学理论?最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌

 
依据初始值的不同,有时会出现无法收敛解的状况。此外,不保证一定可以收敛。感知器型类神经网络的误差倒传递之所以可以收敛,是因为这个最陡下降法用比一般更多的变数而成立的缘故。
 
以另一个角度来观察,使用最陡下降法时,初始值设定为多少,会决定最后收敛的解。若以复变函数(complex function)来进行,复数平面(complex plane)上的任意点,决定了该复变函数收敛于哪个解。将收敛于哪个解用颜色区分,就会出现碎形图(fractal graphic)。例如,Z3=1 这样简单的函数,也会出现碎形。可以说,最陡下降法具有混沌的初始值敏锐性。
 
区域解(local solution)
 
区域解原是数学的概念,表示在方程式的解当中,收敛于某一个解。区域最小值(local minimum)则是指只在该解的区域附近,取得最小值的点,但它不是全局最小值(global minimum)。
 
在软件上解方程式,必须用有限的步骤趋近解,但在达到区域最小值时会停止。这种现象称为“陷入区域最小值”。这表示尚未找到真正的解,而是找到区域解就停止了,是无效的。日常生活中也会用比喻的方式说“你的想法陷入区域最小值了”,借以批评“只用狭隘的观点思考”。
 

AI 也有蝴蝶效应,人工智能用到的数学理论?最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌

 

译注:玻尔兹曼机是随机神经网络和递归神经网络的一种,最早能够学习内部 表达,并能表达和(给定充足的时间)解决复杂的组合优化问题的神经网络。
 
模糊理论(fuzzy theory)

 
我们平常谈到高度、热度、数量、重量等“度量”,不一定会讲出精密的度量值,而是说个概略的数字。以数理方式来处理这种模糊的度量,方法之一是区分为某数值以上、某数值以下来思考。然而,模糊理论要求“使用数理表现方式时保留模糊状态”。
 
以模糊理论来讨论身高,设定超过某值就是身高高的数值,以及低于某值就是身高矮的数值。举例来说,超过 180 公分就是身高高、不到 150 公分就是身高矮。此时,身高 180 公分(以上)的人表示为“身高高度值1”,身高 150 公分(以下)的人表示为“身高高度值0”。于是,身高 170 公分的人“身高高度值 0.7”,身高 160 公分的人“身高高度值 0.3”。

 

AI 也有蝴蝶效应,人工智能用到的数学理论?最陡下降法、区域解、模糊理论、混沌

 

像这样,把所有的身高都用“身高高度值 0 至 1”来表示。这样一来,身高 180 公分的人和身高 179 公分的人就不会只差 1 公分,却被分成高和矮,得以避免这种不合逻辑的划分。
 
现在空调机配备了所谓“fuzzy 功能”,这是指可以对应“有点热”或“非常冷”这种模糊的感觉的意思。
 
混沌(chaos)
 
有一段时间,混沌、碎形、1/ƒ 噪音(粉红噪声 pink noise)、fuzzy(模糊)等词汇,可见于家电制品等的营销。
 
译注:1/ƒ 噪音是自然界最常见的噪音,从功率的角度来看,这种噪音的能量从低频向高频不断衰减,曲线为1/ƒ。
 
chaos(混沌)一词的字源是古希腊文 khaos。一般而言,混沌的定义如下:
 
某系统在某时间点的状态(=初始值)决定好之后,原则上其后的状态都已决定,不遵循这样的决定论法则,产生非常复杂且不规则、不稳定的行为,不可能预测遥远未来状态的现象。
 
简言之,就是“虽然理论上可以计算,实际上未来数值会如何无法准确预估的现象”。
 
1961 年,气象学家罗伦兹(Edward Lorenz)建构预测天气的方程式,进行了两次计算。然而,得到的答案完全不同。检查后发现,第一次计算时给定的初始值到小数点后六位,第二次计算(验证)给定的初始值到小数点后三位,查明了这就是原因。
 
当时还没有混沌的观念,认为就算小数点后六位的数据写成小数点后三位,对计算结果应该影响不大。但是这微小的差异却造成计算结果巨大的差别。
 

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